Problème n°7
Etudier si les courbes respectives des fonctions ln et exp admettent des tangentes communes et si oui lesquelles.

Soit (d) une droite tangente aux deux courbes en A(a,ln(a)) et B(b,e^b). (avec a >0)
La pente de (d) est à la fois 1/a et e^b. Donc e^b = 1/a ou encore a = e^-b
L'ordonnée à l'origine de (d) est à la fois e^b-be^b = (1-b)e^b et ln(a) - 1. Donc   (1-b)e^b = ln(a) - 1
Par substitution on obtient : (1-b)e^b = ln(e^-b) - 1  ou encore  (1-b)e^b + b + 1 = 0 ou encore e^b = (b + 1)/ (b-1)  (b=1 ne convient pas)
Il suffit donc de tracer les deux courbes y=e^x et y=(x + 1)/ (x-1) et trouver leurs intersections.

L'étude et le graphique des deux fonctions montrent qu'il y a deux solutions b1 et b2 et il semble qu'elles soient opposées: b2 = -b1. Supposons que b soit une solution, montrons alors que -b est aussi solution de ex = (x + 1)/ (x-1): On a donc eb = (b + 1)/ (b-1),  e-b = 1/eb = (b - 1)/ (b+1) et (-b + 1)/ (-b-1) = (b - 1)/ (b+1) on a donc bien -b solution de ex = (x + 1)/ (x-1). La calculatrice ou un tableur permettent de donner une valeur approchée de b1: b1 » 1,5434.   a1 = e-b1 = eb2 = (b2+1)/(b2-1) = (-b1+1)/(-b1-1)  = (b1-1)/(b1+1) » 0,2137. a2 = e-b2 = eb1 =  (b2-1)/(b2+1) = 1/a1 » 4,6805. Il y a donc deux droites (d1) et (d2) tangentes aux deux courbes de l'exponentielle et du logarithme: (d1): y = x/a1 - b1-1      (d2): y = x/a2 - b2-1 ou y = xa1 + b1-1

Prolongements:
1)     On peut construire une suite convergeant vers b₁: On veut trouver la solution positive de l'équation e^x-(x+1)/(x-1) = 0.
 Méthode des tangentes: U₀=1,5, B_n est le point de la courbe représentant la fonction f définie par f(x) = e^x-(x+1)/(x-1) d'abscisse U_n. La tangente en B_n à la courbe coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse U_n+1. Montrer que la suite U converge vers b₁.

Équation de la tangente en B_n: y = f (U_n) + (x-U_n) f ' (U_n). 
U_n+1 = U_n - f (U_n) / f ' (U_n)    avec   f ' (x) = e^x + 2 / (x-1)²  et  f(x) = e^x-(x+1)/(x-1) ...

sur Excel :

2)     Les deux tangentes trouvées sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x (dans un repère orthonormé).